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DerAlgorithmus der Proportionsstudie nach Vitruv von Leonardo da Vinci
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Leonardo da Vincis Proportionsstudie
nach Vitruv ist ein rekursiver geometrischer Algorithmus in Menschengestalt zur präzisen Näherung (der in endlich vielen Konstruktions-
schritten unmöglichen) Quadratur des
Kreises (detailierte Infos).
Dies war das erstaunliche Resultat des 1998 erschienen Taschenbuches “Ich aber quadriere den
Kreis ...”, der ersten Werkmonographie zur Proportionsstudie nach Vitruv von Leonardo da Vinci.
Die
mathematische Entschlüsselung der Proportionsstudie erfreute sich vor allem in den deutschen Medien einer hohen Popularität: Stern, Spiegel, Focus,
Die Welt, Bild der
Wissenschaft, Aus Wissenschaft und Forschung, 3SAT Kulturzeit etc. berichteten zum Teil sehr ausführlich (siehe unten oder Pressespiegel)
Schon 1999 hielt der Algorithmus Einzug in den gymnasialen Mathematik- und Kunstunterricht in Deutschland (vergl. hierzu auch
"Mathematiklehren", Band 96, 1999). Auch in jeder gut bestückten
kunsthistorischen Bibliothek durfte das Taschenbuch nicht fehlen.
Jetzt ist eine
überarbeitete und deutlich erweiterte Neuauflage des Werkes erschienen, das mit einer nicht minder erstaunlichen Neuigkeit aufwartet:
Verändert man den Algorithmus, den
Leonardo aus den menschlichen Proportionen und Bewegungen herauslas nur minimal, produziert er ideal flächengleiche Paare Kreis und Quadrat (in einer Konstruktion in unendlich
vielen Einzelschritten und ohne Verletzung des Beweises von Lindemann/Galois).
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Buchrückentext:
Es gibt Ideen,
die, obschon vor langer Zeit geboren, irgendwie in Vergessenheit gerieten und erst durch ungewöhnliche Umstände wiederentdeckt werden.Dann blitzen diese Ideen auf wie Neuigkeiten.
Solch eine Neuigkeit ist der Anlaß dieses Buches. Es rekonstruiert den
eigentlichen, sensationellen Grundgedanken, den Leonardo da Vinci (1452-1519) in seiner heute weltbekannten
Zeichnung formulierte: Der Mann in Kreis und Quadrat illustriert einen mathematischen Algorithmus.
zur Bestellung
Leseprobe
Das Buch (Erstauflage) in Presse und Medien:
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Leseproben
aus dem 1. Kapitel:
“Die künstliche Wirklichkeit der Mathematik meinen wir bereits, wenn wir von einem Kreis sprechen. In der
greifbaren Wirklichkeit existieren keine Kreise, nur möglichst exakte kreisförmige Abbilder der Idee des Kreises. Dasselbe gilt für das Quadrat und alle anderen geometrischen Formen. Und
dennoch gibt es ganz ohne jeden Idealismus bei der Naturbetrachtung eine unmittelbare Verbindung zwischen der mathematischen Wirklichkeit und der Außenwelt. Beide treffen in dem Kopf
aufeinander, der als Teil der einen Welt die andere schafft.”
“Zwischen dem ausgehenden 20. Jahrhundert und der Renaissance liegt
ebenfalls eine Epochenschwelle. Denn seit Beginn
des 19. Jahrhunderts wandelte sich nach und nach die Auffassung davon, was Kunst sei und wie sie
sich am besten entfalte. Leonardo hatte nie daran gezweifelt, daß die Künste im klassischen
Sinne auf Regeln (ars), Übung (exercitium) und Begabung (ingenium) beruhen und nicht anders als mittels dieser Trias erlernt und ausgeübt werden können. Dagegen behauptet die romantische
Kunstkritik des 19. Jahrhunderts, daß sich das eigentlich Künstlerische nur dort entfalten könne, wo erlernbare, rationale Regeln abwesend sind. Zunehmend galt das Unergründliche als das
Geniale, etwas, das der innersten Gefühlswelt des Künstlers unbewußt entspringt.”
aus dem 2. Kapitel:
“Im Gegensatz zu den Ägyptern, die die Mathematik unter praktischen
Gesichtspunkten betrieben, waren die Griechen die Begründer einer Mathematik, deren Aussagen durch rein logische
Überlegungen beweisbar waren. Es war bei den Griechen nicht mehr gefragt, Lösungen zu entwickeln, die gewisse Aufgaben zwar nicht hundertprozentig präzis, aber für den Alltag in hinreichender
Genauigkeit bewältigten. Statt dessen sollten ideale Lösungen gefunden werden. Diese neue kulturelle Leistung bzw. Forderung hatte vordergründig nicht den geringsten technisch-praktischen
oder wirtschaftlichen Nutzen. Vielmehr war sie
philosophisch, insbesondere ästhetisch begründet.”
aus dem 3. Kapitel:
“Sechs oder sieben Jahre nach dieser selbstbewußten Behauptung äußerte
Leonardo die feste Absicht, eine hinlänglich vorbereitete Abhandlung mit
dem Titel Vom Spiel der Geometrie niederzuschreiben (vgl. S. 9), die aber
leider nicht zur Veröffentlichung gelangte. Mögliche Anteile dieser Abhandlung müßten heute aus verschiedenen
Manuskriptsammlungen herausgelesen
werden. Dazu würden auch Leonardos fortschrittliche Ansätze zur Lösung
der zweiten und dritten Königsdisziplin der antiken Geometrie zählen. Diese
sind, wie erwähnt, zum einen die Drittelung des Winkels und zum anderen die Verdoppelung des Würfelvolumens. Auch bei diesen Aufgaben durfte
nichts anderes als Zirkel und Lineal angewendet werden, und auch hier hatte
die Antike Maßstäbe gesetzt.
Die Leonardo-Forschung verzeichnet bislang mindestens acht Manuskriptblätter,
auf denen Leonardo seine Ambitionen zur Lösung der Kreisquadratur deutlich zu Papier brachte. Dazu zählen die beiden zitierten Verlautbarungen im Codex Atlanticus, Fol. 45 v-a (vgl. S. 10)
bzw. auf der Zeichnung Windsor 12280 r (s.o.).”
aus dem 4. Kapitel:
”Leonardo war auf dem besten Wege, das wohl umfangreichste Lehrbuch der
Malerei zu verfassen. In diesem leider doch unvollendeten Werk entwickelte er die Regeln der Malerei aus der Welt
der Mathematik. Wie und warum er die Theorie der Malerei mathematisierte, ist für Menschen des 20. Jahrhunderts eine erstaunliche Sache. Denn im Gegensatz zu Leonardo ziehen viele moderne
Künstler und (möglicherweise abhängig von ihnen) die Kunsthistoriker mehrheitlich einen tiefen Graben zwischen der Mathematik, die als Inbegriff des Rationalen gilt und galt, und einer die
Festung des Subjektiven verteidigenden bildenden Kunst, die möglichst unabhängig und theoriefrei sein soll. Eine solche romantische Kunstauffassung war Leonardo fremd:
“Die Anhänger der Malerei nähren ihre Erfahrung nicht mit Träumen,
sondern gehen immer nach den wahren Prinzipien der Reihe nach vor,
so daß sich bis zum Ende eines aus dem anderen ergibt, wie man es
von den Grundbegriffen der Mathematik, der Zahl und dem Maß, mit
anderen Worten, der Arithmetik und der Geometrie kennt.“
Leonardo da Vinci, Codex Urbinas, Fol. 19 r (vgl. S. 11)”
aus dem 5. Kapitel:
“Der aktuelle Forschungsstand ist kontrovers, ja sogar rückschrittlich. Panofsky schweift von der Anthropometrie und Bewegungslehre zur Kosmologie. Osts Ansatz knüpft Verbindungen zur
Malerei, speziell zum Figurenstil. Kemp bezieht die Proportionsstudie auf die Architekturtheorie. Zöllner sieht in ihr Besonderheiten der Metrologie. Und Braunfels Esche kommt eigentlich
keinen Schritt weiter als ihre Vorgänger.
...
Aber keiner der Autoren versucht, die Zeichnung mathematisch oder
geometrisch zu deuten, obschon die geometrische Einrahmung der Figur so
einzigartig und klar ist. Nicht einmal die Proportionierung des Quadrats und
des Kreises wurde bisher genau
erhoben. Darüber hinaus verwundert es, daß weder die kunsthistorische noch die mathematikgeschichtliche Forschung
sich jemals mit der Frage auseinandergesetzt hat, ob die Zeichnung etwas
mit der Quadratur des Kreises zu tun haben könnte. Übersehen wurden sowohl Leonardos Bemerkungen über die Kreisquadratur als auch die mathematisierte Kunsttheorie, die Leonardo eingangs
seines Malerei-Traktats
unterbreitet. ”
aus dem 6. Kapitel:
“Die Proportionsstudie nach Vitruv signalisiert durch zwei Punkte - die
Mittelfinger auf den senkrechten Quadratseiten, durch die ein gedachter
Kreisbogen führt - einen zum Quadrat flächengleichen Kreis (S. 105). Die
bisherige kunsthistorische und mathematische Forschung hat diesen nur angedeuteten Kreis schlicht übersehen,
geschweige denn erkannt, worauf die
zurückliegenden Kapitel peu à peu einstimmen: Die Proportionsstudie nach
Vitruv verbildlicht ein Regelwerk für eine effektive wie schöne Konstruktion
zur (annähernden) Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal (S. 105-111).”
aus dem mathematischen Anhang:
“Im Zuge der dieser
Arbeit zugrunde liegenden Untersuchungen wurde der geometrische Algorithmus mit verschiedensten Programmen, wie z.B. Excel oder Derive simuliert. Im folgenden wird die Modellierung durch
Javascript dargestellt. Diese Programmiersprache weist zwar ab der siebten Nachkommastelle (in diesem Zusammenhang unwesentliche) Ungenauigkeiten auf, erlaubt es aber jedem Leser, der Zugang
zu einem Internetbrowser hat, mit dem nachfolgendem Script selbst zu experimentieren.”
“Der Wert für den Radius x (bzw. x(1)), der die Kreise und Quadrate mit Leonardos Verfahren gegen
eine tatsächliche Flächengleichheit konvergieren läßt, ist zu interessant, um nicht bestimmt zu werden. Da Leonardos Verfahren auf einer Konstruktion in unendlich vielen Schritten beruht und
sich Lindemanns Beweis der Unmöglichkeit der Kreisquadratur nur auf Verfahren in endlich vielen Schritten bezieht, wäre zumindest theoretisch denkbar, daß man Leonardos Methode mit Hilfe
eines kleinen Updates zu einem idealen Verfahren erweitern könnte. Hierzu müßte allerdings für den idealen Radius x, so dieser denn existiert, ein zusätzlicher Konstruktionsschritt gefunden
werden, der diesen im laufenden Verfahren mit erzeugt (z.B. in dem man mit x(1) = 0.5 startet und die folgenden x(i) Generation für Generation nach einer zu findenden Regel mit konstruiert).
Schon die reine Kenntnis dieses Wertes wäre eine Herausforderung an die Anthropometrie, den tatsächlich beim Menschen zu messenden Wert für den Armradius in Bezug auf die Armspannweite zu
bestimmen.”
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